MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1 HISTORIA

El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y la aplicación del cálculo integral y del cálculo diferencial .

El cálculo diferencial se origina en el siglo xviii al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666, el científico ingles isaac newton fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.

Casi al mismo tiempo el filósofo y matemático alemán gottfried leibniz realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días.

Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale sobre otros pierre fermat matemático francés, que su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento de cálculo diferencial.

Dicha obra influenció a leibniz en la investigación del calculo diferencial. Fermat dejó casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los franceses, alemanes, y los ingleses. Razón por la cual las demostraciones de fermat se hayan perdido.

Nicolas oresme obispo de la comunidad Lisiiex, francia, estableció que en la proximidad del punto de una curva en que la ordenada se considera máxima o minima, dicha ordenada varia más pausadamente.

Johannes kepler tiempo después, coincidió con lo9 que establecio nicolas oresme, conceptos que permitieron a fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas, igual a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que la función tiene su máximo y su minimo, es decir la función es paralela al eje “x” donde la pendiente de la tangete se anula.

En el siglo XVII, Fermat desarrolla el primer método general para la determinación de máximos y mínimos, en la memoria Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum, se trata de un procedimiento puramente algorítmico desprovisto de todo fundamento demostrativo, en el cual Fermat introduce la técnica de adigualdad, que había sido empleada por Diofanto en la Escuela de Alejandría. La forma vaga y lacónica como Fermat presenta el Methodus, ha dado pie a algunas interpretaciones en términos de Cálculo infinitesimal, una de las cuales afirma que en el Methodus subyace el cálculo una derivada que se iguala a cero.

2 DEFINICION FORMAL

MAXIMO Y MINIMOS

los valores que puede tener una función f ( x ), pueden ser los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera

empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo,

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

la pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos criticos maximos y minimos relativos a cero ,ya que que se trata de una racta horizontal .en los puntos criticos maximos, las funciones tiene un valor mayor que en su entorno , mientras que en los mínimos , el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto crítico mínimo relativo ,la función deja de decrecer y empieza aser creciente ,por lo tanto ,su derivada pasa negativa a positiva.

Crecimiento y Decrecimiento

al trazar una recta y marcar los valores de x que anulan la derivada, la recta queda dividida en intervalos al tomar los valores de x comprendidos en cada intervalo lo sustituimos en la derivada y vemos su signo.

Se traza la recta se marcan los valores 1.3 que anulan la primera derivada, la recta nos queda dividida en 3 intervalos se sustituye en la derivada para ver el signo

Máximo relativo

Existe un máximo relativo en un punto $$ a $$ si

1. $$f '(a) = 0$$

2. $$f ''(a) <0$$

Véase que la segunda derivada evaluada en el punto $$a$$ debe ser estrictamente menor que cero.

Mínimo relativo

Existe un mínimo relativo en un punto $$a$$ si

$$f '(a) = 0$$

$$f ''(a)>0$$

Véase en este caso, en cambio, que la segunda derivada de la función f evaluada en el punto 'a' debe se estrictamente positiva.

Punto de inflexión (o punto de silla)

Existe un punto de inflexión en un punto $$a$$ si

ž $$\exists f '(a)$$ (léase: "existe $$f' (a)$$" o lo que es lo mismo, $$f (x)$$ es derivable en el punto $$a$$)

ž $$f ''(a) = 0$$

Sea la función $$f(x)$$:$$$f(x)=x^3-4x+3$$$ El análisis de la función obliga a calcular los posibles extremos y puntos de de inflexión de dicha función. Deben seguirse los siguientes pasos.

Criterio de la primera derivada

1. obtener la primera derivada

2. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación

3. encontrar donde puede haber valores max o min

4. asignar valores próximos a la variable independiente y sustituir

5. cuando estos pasan de positivos a negativos se trata de un punto maximo de lo contrario es negativo

6. sustituir en la función original, cada pareja de datos correspondiente de un punto crítico.

Criterio de la segunda Derivada

SE basa en que un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia su derivada será negativa mientras que un punto mínimo relativo la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva .

1. calcular la primera y segunda derivada

2. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación

3. sustituir las raíces de la primera derivada en la segunda si el resultado es positivo hay mínimo; si la segunda derivada resulta ser negativa hay un maximo

4. si el resultado fuera cero no se puede afirmar si hay un máximo o mínimo

3.EJEMPLO

Un industrial desea desea construir una caja abierta ,es decir sin tapa de base cuadrada y superficie total 108 cm2 ¿que dimensiones tendrá la caja de volumen máximo?

4. BORRADOR DE LA APLICACIÓN

Existe una amplia variedad de problemas y servicios que tienen como fin encontrar el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance

Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente en una planta esta relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos.

En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas.

Y para eso se siguen unos ciertos pasos que nos ayudan a darle solución a ese problema dado:

1. Dibujar una figura de análisis.

2. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

3. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

4. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

5. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

6. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

7. Puntos críticos.

Estos son los pasos que se siguen para hallar la optimización de algún problema, y eso lo pudimos analizar en el problema del punto anterior.
La revisión del proceso permite que la persona encargada de esa área evalué la eficiencia de su proceso y que decida, si es necesario continuar con el mejoramiento de la producción.

5.APORTE GRUPAL

El aprovechamiento de los recursos es parte importante de una empresa, para lograr aprovechar los recursos hasta su más mínima parte se debe especificar unas cuantas medidas que restrinjan la pérdida del material, esas restricciones se pueden realizar por medio de cálculos de capacidades (máximos y mínimos) en el que nos muestran como se debe aprovechar de la mejor forma el material.
La aplicación de máximos y mínimos le permite al industrial de forma rápida y sencilla resolver la interrogante que se presento ala hora de construir una caja abierta ,mediante los procedimientos prácticos sobre el calculo vectorial .